Nature d'un triangle - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A(-4 \sqrt{3}+6i) , \text B(-4\sqrt{3}-4i)\)  et \(\text C(\sqrt{3}+i)\) .  Quelle est la nature du triangle \(\text A\text B\text C\) ?

Solution

\(\dfrac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} = \dfrac{\sqrt{3}+i -(-4 \sqrt{3}+6i)}{-4 \sqrt{3}-4i -(-4 \sqrt{3}+6i)}= \dfrac{5 \sqrt{3} -5i}{-10i}= \dfrac{(5 \sqrt{3} -5i)i}{-10i^2}= \dfrac{5+ 5 \sqrt{3}i}{10}= \dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2}= \text e^{\frac{i \pi}{3}}\)

Donc  \(\text A\text B\text C\) est équilatéral.